Hyperbel

Übertreibung

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Hy|pẹr|bel 〈f. 21〉

1. 〈Geom.〉 unendliche ebene Kurve aus zwei getrennten Ästen, sie besteht aus allen Punkten, deren Abstände von zwei bestimmten Punkten eine konstante Differenz haben

2. 〈Rhet.〉 sprachliche, dichterische Übertreibung, z. B. der „Balken im Auge“

[<grch. hyperbole; <grch. hyper „über ... hinaus“ + ballein „werfen“]

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Hy|pẹr|bel, die; -, -n [lat. hyperbole < griech. hyperbole̅̓, zu: hyperbállein = über ein Ziel hinauswerfen, übertreffen, übersteigen]:

1. (Math.) (zu den Kegelschnitten gehörende) unendliche ebene Kurve aus zwei getrennten Ästen, die der geometrische Ort aller Punkte ist, die von zwei festen Punkten, den Brennpunkten, gleichbleibende Differenz der Abstände haben.

2. (Sprachwiss., Rhet.) in einer Übertreibung bestehende rhetorische Figur (z. B. himmelhoch; wie Sand am Meer).

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Hypẹrbel

 

[zu griechisch hyperbállein »über ein Ziel hinaus werfen«, »übertreffen«, »übersteigern«] die, -/-n,  

 1) Mathematik: der geometrische Ort aller Punkte der Ebene, für die der Betrag der Differenz der Entfernungen von zwei festen Punkten F₁ und F₂ (Brennpunkte) konstant (= 2 a) ist. Die Hyperbel ist ein Kegelschnitt und somit eine algebraische Kurve zweiter Ordnung. Im Gegensatz zur Ellipse, die ähnlich definiert ist und eine zusammenhängende, geschlossene Kurve bildet, besteht die Hyperbel aus zwei so genannten Ästen. Der Mittelpunkt M der Strecke zwischen F₁ und F₂ (Länge 2e) ist zugleich der Mittelpunkt der Hyperbel. Trägt man auf der Geraden durch F₁ und F₂ von M aus die Strecke a nach beiden Seiten ab, so erhält man die beiden Hauptscheitel A₁ und A₂. Die Strecke (Länge 2a) bezeichnet man als die reelle Achse (Hauptachse) der Hyperbel; a ist die reelle Halbachse. Errichtet man in M die Senkrechte zu und schlägt um einen der Hauptscheitel einen Kreis mit dem Radius = e, so erhält man als Schnittpunkte die »reellen Vertreter« der imaginären Nebenscheitel B₁ und B₂. Die Strecke bezeichnet man als die imaginäre Achse (Nebenachse) der Hyperbel (Länge 2b); b ist die imaginäre Halbachse. Als lineare Exzentrizität der Hyperbel wird die Größe e = bezeichnet. - Man erhält eine Hyperbel auch als geometrische Ort aller Punkte, deren Abstände von einem gegebenen (Brenn-)Punkt F₂ und einer gegebenen (Leit-)Geraden l₂ ein konstantes Verhältnis ε > 1 haben; man nennt ε = e / a die numerische Exzentrizität.

 

Die Hyperbel besitzt genau zwei Symmetrieachsen; eine verläuft durch die Hauptscheitel A₁ und A₂, die andere durch die Nebenscheitel B₁ und B₂. Daneben ist die Hyperbel punktsymmetrisch zu ihrem Mittelpunkt. Liegt der Mittelpunkt im Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems, so lautet ihre Mittelpunktsgleichung

 

Sie besitzt zwei durch den Mittelpunkt verlaufende Asymptoten mit den Gleichungen y = ±(b / a)x. Ist a = b, so liegt eine gleichseitige (rechtwinklige) Hyperbel vor; ihre Asymptoten stehen senkrecht aufeinander.

 

 2) Rhetorik: Übertreibung des Ausdrucks (zur Intensivierung des emotionalen Gehalts) in vergrößerndem (z. B. »tausendfach« anstelle von »oft«) oder in verkleinerndem Sinn (z. B. »wenig hilfreich« anstelle von »schädlich«). Viele hyperbolische Wendungen wurden in die Umgangssprache übernommen und sind in ihrer Bedeutung verflacht.

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Hy|pẹr|bel, die; -, -n [lat. hyperbole < griech. hyperbole̅́, zu: hyperbállein = über ein Ziel hinauswerfen, übertreffen, übersteigen]: 1. (Math.) (zu den Kegelschnitten gehörende) unendliche ebene Kurve aus zwei getrennten Ästen, die der geometrische Ort aller Punkte ist, die von zwei festen Punkten, den Brennpunkten, gleich bleibende Differenz der Abstände haben. 2. (Sprachw., Rhet.) in einer Übertreibung bestehende rhetorische Figur (z. B. himmelhoch; wie Sand am Meer).